[图形]二维变换

2022.01.29修订

Linear Transforms 线性变换

Scale 缩放

假设图片的原点在世界坐标的原点上，现在我们想把它缩小，写成数学式子很简单：

$$\begin{align} x^{'}&=s_xx\\\\ y^{'}&=s_yy \end{align}$$

将它改写为矩阵形式也很简单：

$$\left( \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} s_x&0\\ 0&s_y \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right)$$

缩放可以是不均匀的

如果我们把缩放矩阵的元素$s$设为负值，就可以根据x轴或者y轴镜像反转

Shear 切变

例子中，矩形左上角顶点，经过变换后它的纵坐标不变，横坐标变为$a$，即$(a,1)$。又例如矩形左侧边的中点，在变换中向右移动了$\frac{a}{2}$。

也就是说，越靠近顶部，拉得越多，越靠近底部，拉的越少。那么拉动的距离可以写为$ay$

因此，完整坐标移动可表示为$(x+ay,y)$。那么，水平方向上的切变，写成矩阵形式就是

$$\left( \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1&a\\ 0&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right)$$

Rotate 旋转

tips:一般来说，没有其他信息情况下，说旋转都是绕原点，逆时针旋转

推导矩阵最关键的一点是：找到原坐标$(x,y)$与结果坐标$(x',y')$之间的对应关系

找到对应关系了，矩阵中的空缺就容易填了

将单位正方体绕原点旋转$\theta$

先看特殊的点$(1,0)$，旋转后的坐标为$(x',y')$，往x轴做一条垂线，可以找到一个直角三角形。使用三角函数可以很容易知道该点坐标是$(cos\theta,sin\theta)$

那么可以列出等式：

$$\left( \begin{matrix} cos\theta\\ sin\theta \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} A&B\\ C&D \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} \right)$$

再将左侧得矩阵乘法计算一下，可以解得：

$$\begin{cases} A=cos\theta\\ C=sin\theta \end{cases}$$

同理，再找一个特殊的点$(0,1)$，它旋转后的点是$(-sin\theta,cos\theta)$，x轴坐标是$-sin\theta$很容易在图上看出来

再将其带入等式：

$$\left( \begin{matrix} -sin\theta\\ cos\theta \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} cos\theta&B\\ sin\theta&D \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix} \right)$$

很容易解得

$$\begin{cases} B=-sin\theta\\ D=cos\theta \end{cases}$$

（这种方法应该叫待定系数法？）

所以旋转矩阵是：

$$\left( \begin{matrix} cos\theta&-sin\theta\\ sin\theta&cos\theta \end{matrix} \right)$$

再推广一下，如果我们想旋转$-\theta$，很简单，把矩阵中的$\theta$都用$-\theta$代替掉就行了

$$\boldsymbol{R}_{-\theta}= \left( \begin{matrix} cos(-\theta)&-sin(-\theta)\\ sin(-\theta)&cos(-\theta) \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta&cos\theta \end{matrix} \right)$$

正好等于$\boldsymbol{R}_{\theta}^T$

而根据定义，旋转$\theta$和$-\theta$正好是一个互逆的操作，也就是

$$\boldsymbol{R}_{-\theta}=\boldsymbol{R}_{\theta}^{-1}$$

也就得到了：

$$\boldsymbol{R}_{\theta}^{-1}=\boldsymbol{R}_{\theta}^T$$

旋转矩阵的逆矩阵等于旋转矩阵的转置，这是个正交矩阵

什么是线性变换

满足

$$\left( \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} A&B\\ C&D \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right)$$

$$\vec{x}'=\boldsymbol{M}\vec{x}$$

这种形式的变换，叫做线性变换。（矩阵的维度要和向量相同）

Homogeneous coordinates 齐次坐标

先来看一看平移变换的对应关系

非常简单，但是如果要把这个方程组写成矩阵形式呢？

$$\left( \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} t_x\\ t_y \end{matrix} \right)$$

我们没办法把它写成上面线性变换的形式，只能将两个向量相加

让它变得更像线性变换：

$$\left( \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} A&B\\ C&D \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} t_x\\ t_y \end{matrix} \right)$$

也就是说，平移不是线性变换

但是数学家并不想让平移变换看作特殊的变换，我们想让这种加法也可以用矩阵乘法来表示。

所以引入了齐次坐标的概念

齐次坐标给点和向量增加一个维度，表示为：

• 点：$(x,y,1)$
• 向量：$(x,y,0)$

现在使用齐次坐标的点构造一个矩阵

$$\left( \begin{matrix} x'\\ y'\\ w' \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\ y\\ 1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} x+t_x\\ y+t_y\\ 1 \end{matrix} \right)$$

正好就是我们需要的平移变换，而且它可以写成矩阵乘以向量的形式了！

但是为什么要将点和向量区别对待？

因为向量具有平移不变性，也就是说，向量不具有平移变换

更深层次的原因是：我们希望向量+向量还是向量，点-点是向量，点+向量还是点。

齐次坐标将点和向量区别对待正好符合向量和点的运算过程

那么点+点是不是没有意义了呢？在齐次坐标中，这种点也有意义：

• 当$(x,y,w)$是二维的点，也就是$w\neq 0$，将所有分量都除以$w$，也就是$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},1)$，那它就表示一个点了

这样的点+点形式，在齐次坐标中表示的是两个点的中点坐标

Affine Transformations 仿射变换

将线性变换和平移变换的加法，使用齐次坐标来表示：

$$\left( \begin{matrix} x'\\ y'\\ 1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} a&b&t_x\\ c&d&t_y\\ 0&0&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\ y\\ 1 \end{matrix} \right)$$

类似这样的变换叫做仿射变换

在表示二维情况下的仿射变换时，齐次坐标的第3行永远是001

Inverse Transform 逆变换

变换后的坐标$(x',y')$如果乘以原矩阵的逆矩阵，就变换回$(x,y)$了

$$\vec{x}=\boldsymbol{M}^{-1}\vec{x}'$$

Composite Transform 组合变换

复杂的变换可以通过一系列变换的组合得到

变换的顺序非常重要，我们会发现，旋转和平移的顺序对调，结果会不一样，因为矩阵乘法调换顺序，结果会不一样，因为矩阵乘法不满足交换律

将矩阵应用到点上的时候，由于我们把点看作列向量，所以应用的时候，顺序是从右到左，也就是：

$$x'=\boldsymbol{T}\boldsymbol{R}x\\$$

先乘以R，再乘以T

推广一下，如果有更多的矩阵需要应用到点上，它们的乘积就是：

$$x'=\boldsymbol{A_n}(...\boldsymbol{A_2}(\boldsymbol{A_1}(x)))$$

回想一下矩阵乘法性质，虽然没有交换律，但是它有结合律，也就是

$$\begin{align} x'&=\boldsymbol{A_n}(...\boldsymbol{A_2}(\boldsymbol{A_1}(x)))\\ &=(\boldsymbol{A_n}...\boldsymbol{A_2}\boldsymbol{A_1})x \end{align}$$

这样，一个矩阵就可以表示之前多个矩阵的变换结果

Questions

Q:既然一个矩阵可以表示这么多变换的结果，而且仿射变换结合了线性变换和平移变换，那到底是先线性变换呢，还是先平移变换呢？

A:观察不使用仿射变换，直接将平移加到线性变换的公式，不难看出，先应用线性变换，再进行平移变换