[图形]实时软阴影

Shadow Mapping

• 2 Pass算法（就是说会渲染两次场景）
  • 首先从光源生成深度图
  • 再从相机渲染一遍，并结合深度图生成阴影
• 图像空间算法
  • 好处：不需要场景的几何信息
  • 坏处：自遮挡现象，走样

自遮挡

深度图有分辨率，也是个采样（离散）过程，每个像素记录的深度是不连续的（就是图中橙色的那一片，记录的点比实际偏了一点）。之后再从相机出发打到了旁边红点，位置差了一点点，但是shadow map上记录的深度更浅，结果以为光照不到这一点上，出现自遮挡现象

为了解决这个问题，可以假设如果某一小段距离内发现有遮挡现象，就当作它没遮挡（加个bias，bias可以根据光源和平面夹角变动）

但它引入了新问题，如果bias过大会丢失应该生成的阴影

Second-depth shadow mapping

不仅存最小深度，还要存第二小的深度，用最小深度和次小深度的中间深度来做比较

（就是用算出来的mid point）

但是实际上工业界没人用，因为

• 要求所有模型都是watertight，就是模型不能只有一个面（就算一张纸也要有一点点厚度），有正面就要有反面
• 真的实现出来开销很大（虽然是$O(n)$算法但是常数很大）

Visibility with Rendering Equation

乘积的积分等于积分的乘积！（高数老师：挂科）

但是在某些情况下，它们的结果可以近似相等

$$\int_\Omega f(x)g(x)\mathrm{d}x\approx\frac{\int_\Omega f(x)dx}{\int_\Omega dx}\cdot\int_\Omega g(x)dx$$

（$f(x)$除以一个积分是归一化常量，不希望波动太大）
当$g(x)$的积分范围很小，或者函数足够光滑（曲率不大？）时结果会更准确

当把可见性也加入到渲染方程中（就是说物体可能不会被光源照到），并且将可见性拆开来，渲染方程可以改写成

$$L_o(p,\omega_o)=\int_{\Omega^+} L_i(p,\omega_i) f_r(p,\omega_i,\omega_o)cos\theta_i V(p,\omega_i)\mathrm{d}\omega_i$$

根据公式，可以把可见性从渲染方程中拆出来

$$L_o(p,\omega_o)=\frac{\int_{\Omega^+} V(p,\omega_i)\mathrm{d}\omega_i}{\int_{\Omega^+}\mathrm{d}\omega_i}\cdot\int_{\Omega^+} L_i(p,\omega_i) f_r(p,\omega_i,\omega_o)cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i$$

什么时候这个渲染方程是准确的？

• 积分上下限小（点光源，平行光）
• 渲染方程足够平滑（uniform的光照，$L$不变，也就是面光源，没有radiance变化，且brdf是diffuse的）

Percentage closer soft shadows (PCSS)

现实中大部分光源是面光源，从有阴影到无阴影会有过度

Percentage Closer Filtering (PCF)

最早pcf最早用于抗锯齿

步骤：

• 对于一个shading point，去shadow map上找该点周围一圈的像素
• 将该点和所有找到的像素做比较，平均一下
  • 比如取周围3x3的像素
  • 结果是1,0,1 1,0,1 1,1,0
  • 平均值是0.667

所以它既不是对最终有锯齿的图操作，也不是对shadow map进行模糊

这样操作会比较慢

PCSS

pcf在采样时，如果只采样一个点，就是硬阴影，什么都没干，如果采样一大堆点，那锯齿也没了，也有软阴影了

那软阴影就是硬阴影做一个采样范围非常大的filter

只要不同位置给个不同的filter范围，是不是就可以做出近实体远虚的效果了

因此filter范围和遮挡物距离有关系

远处光源light（图右上方），中间遮挡物blocker，底部接受阴影receiver

阴影软的程度就是左下角w范围，w越大越软

根据相似三角形可以列出等式

$$W_{penumbra}=\frac{(d_{receiver}-d_{blocker})\cdot w_{light}}{d_{blocker}}$$

所以PCSS的步骤：

• 搜索一个范围内的blocker，深度记下来取个平均值
• 计算filter大小
• 做pcf

那么搜索blocker的范围要多大呢

把shader point连向light，看在shadow map所占范围来确定，离光源越远，遮挡物也更多

PCSS开销非常大，因为第一步和第三步需要采样区域内深度并比较

点光源产生的是硬阴影

Variance Soft Shadow Map (VSSM/VSM)

VSM是为了解决PCSS第一步和第三步开销过大的问题。

可以看做PCSS的快速版本

加速PCF

我们知道PCSS第三步做PCF时会对一个区域内深度进行比较是否被遮挡，就是区域内有多少像素比该点深还是浅，可以看做对区域内像素排名，知道该点在区域内排第几。为了避免扫描一遍所有成绩，可以使用概率的分布来计算相对准确的排名。

所以只要能拿到区域的平均和方差，就可以立刻算出排名

给定区域，算平均值，就是mipmap，但是它有些其他问题。另一个办法是Summed Area Table

那如何拿到方差呢

$$Var(X) = E(X^2)-E^2(X)$$

一个随机变量的方差等于随机变量平方的期望减去期望的平方

所以生成shadow map的时候可以顺手生成深度的平方

有了平均值和方差可以得到正态分布，通过计算曲线围成面积（CDF）算出多少像素深度比取的点小。

但是CDF很难算。为了计算这个玩意引入切比雪夫不等式（Chebychev’s inequality）（啥？）

$$P(x>t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+{(t-\mu)}^2}$$

这个不等式可以告诉我们，一个随机变量取的值超过某个值的概率，但是又不需要知道随机变量满足的分布，只需要知道期望和方差（黑人问号.jpg）

不等式左边是除了cdf的部分（就上图，概率分布右半边），不会超过不等式右半边

不过呢实时渲染里面，这个不等号被人们认为是约等于，用于估计右半边的面积，所以cdf就是1减去右边面积

不过呢这个不等式还有个条件，要查询的变量必须在均值的右边，如果在左边就不准了

加速查询区域内遮挡物深度

PCSS在第一步会计算范围遮挡物的平均深度，会遍历区域内所有像素。

如果遮挡物的平均深度是Zocc,不是遮挡物的平均深度为Zunocc，可以得到

$$\frac{N_1}{N} Z_{unocc}+\frac{N_2}{N} Z_{occ}=Z_{avg}$$

$N_1$非遮挡物数量，$N_2$是遮挡物数量。

其实就是遮挡物和非遮挡物占据的比例，加起来就是平均深度

对应到前面的切比雪夫不等式，也可以直接得出百分比

但是我们不知道非遮挡物的深度，这里假设和shading point一样

快速求矩形区域平均

mipmap就完事了（233

事实上mipmap有很多限制，正方形，2的n次方，还要线性插值

Summed Area Table

我们需要，给定一个范围，立刻得到范围的平均值

范围求和与范围求平均是一回事，知道范围所有值的和，除以个数就是平均

前缀和可以快速求出范围内的和

求二维的前缀和，其实就是右下角矩形 减去 左下角矩形 减去 右上角矩形 再加上 左上角矩形

所以，预计算二维前缀和表$O(m\times n)$，就可以$O(1)$查询平均值

问题

VSSM做了很多假设，当假设不成立的时候就会出错。

假设是正态分布，如果实际上不是就会渲染错误

不是正态分布强行按正态分布算就会出现漏光和过暗的结果。在阴影的承接面不是平面的情况下也会出现阴影断掉的现象。

（车底部漏光）

Moment Shadow Mapping

解决VSSM里描述深度分布不准确的问题，使用更高阶的矩（？）

矩就是记录一个数的所有前n次方是多少，叫做n阶的矩

MSM用了前四阶的矩（就是x，x平方），VSSM是二阶矩

用这么多阶的矩可以表示一个一系列阶跃函数连起来的函数，而且能表示n/2个台阶

有了这个函数，立刻可以恢复出CDF

是一种展开（？）

那怎么从矩转化成曲线呢，可以看论文（

Distance Field Soft Shadows

速度很快

Signed Distance Function (SDF)

（GAMES101有讲过）
定义：空间中任何一个点到某个物体的表面上最近的点的距离
距离可以有正负，符号定义了距离的方向

sdf等于0的时候是物体边界，函数可以插值

Ray Marching

现在假设已经得到了场景的SDF信息，需要用光线和SDF定义的隐式表面求交可以用sphere tracing

• 从某个点向某个方向射出光线
• 计算一次SDF，获取一个距离
  （因为SDF记录的是任何一个点到物体表面最近点的距离，所以某一点SDF的值等价于其附近的安全距离，也就是说在这个距离内，不可能撞到任何物体）
• 所以光线这次可以前进的距离就是SDF算出来的距离

使用SDF生成软阴影

SDF可以估算观察者安全视角的大小，就是说如果SDF越小，能看到的角度越小，可见性越小，阴影越黑

事实上真的应用中并不会去算角度，因为SDF和到原点的距离已经可以表示角度大小，不用再用反三角函数算一遍

$$min\{\frac{k\cdot SDF(p)}{\vert{p-o}\vert},1.0\}$$

系数$k$可以控制阴影的硬软，越大越硬（

优缺点

• 就是快，比shadow map快（忽略距离场生成）（其实shadow map主要时间是在生成上）
• SDF软阴影不准，但是符合人的观察结果
• 需要预计算，储存（需要空间很大），只能对刚体和静态场景生效

（SDF甚至可以做无限分辨率的字符）