[图形]路径追踪

Probabilities

$X$ ：随机变量，可以取各种不同的值

$p(x)$ ：随机变量的概率

例如：骰子有六个面，可能的取值，也就是 $X$ 可以取1、2、3、4、5、6

那么 $p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=\frac{1}{6}$

很容易可以知道

\sum\limits_{i=1}^n p_i=1

所有概率叠加起来结果是1

期望：不断取随机变量并求平均（超简单的理解

E[X]=\sum\limits_{i=1}^n x_i p_i

$x_i$ ：所有随机变量能取得值
$p_i$ ：取到某个随机变量的概率
还是拿骰子举例，它可以取1、2、3、4、5、6，它取到每个值的概率是 $\frac{1}{6}$
所以期望是

\begin{split} E[x]&=\sum\limits_{i=1}^n \frac{i}{6} &=\frac{1+2+3+4+5+6}{6} &=3.5 \end{split}

现在引申到连续型随机变量上，概率会有函数，叫做概率密度函数（Probability Density Function），是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数

概率密度也满足所有可能的取值的和为1

\int p(x)\mathrm{d}x=1

相应的，它的期望也可以很容易知道

E[X]=\int xp(x)\mathrm{d}x

现在，如果随机变量也是一个函数 $f(x)$ ，如何求期望也没有变化

E[f(x)]=\int f(x)p(x)\mathrm{d}x

Monte Carlo Integration

严格数学推导（完全不懂）：蒙特卡洛积分

The Monte Carlo method is a numerical method of solving mathematical problems by random sampling (or by the simulation of random variables).
蒙特卡洛法是一类通过随机采样来求解问题的算法的统称，要求解的问题是某随机事件的概率或某随机变量的期望。通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，并将其作为问题的解。

给任何一个函数，我想算它从a到b的定积分，一般我们会求出它的不定积分，再带入上下限减一下就求出来了。

但是现在这个函数比较复杂，求不出不定积分。而我们只想要最后结果，可以用蒙特卡洛法。

说白了，蒙特卡洛法就是随机n个自变量，带入解析式求出n个解，当n足够大时，把所有结果平均一下，就是最后的解

F_n(x)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n\frac{f(x_k)}{pdf(x_k)}

$F_n(x)$ ：要求解的函数

$f(x)$ ：被积函数

$pdf(x)$ ：x取值的随机分布

不同的随机分布会影响计算速度和结果

（关于为啥它是对的，这篇基本上能解释了https://zhuanlan.zhihu.com/p/260196506）

Path Tracing

Whitted-style缺陷

经典光线追踪算法（Whitted-style）缺陷

不是在求解渲染方程，没有使用BRDF而是基于简单的反射折射，无法保证正确性
当光源面积较小时，从相机发射射线到达光源的概率也变小，图像会有大量噪点

现在我们有了基于物理推导出来的渲染方程，解出方程就是正确的渲染。

我们知道渲染方程是积分方程，而且我们只要最后的值，可以用蒙特卡洛法

改写渲染方程

复习一下渲染方程

L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+} f_r(p,\omega_i\to\omega_o)L_i(p,\omega_i)(n\cdot\omega_i)\mathrm{d}\omega_i

渲染方程看似复杂，其实就是在半球上，不同方向上的积分

根据蒙特卡洛法，在半球不同方向上采样，也就是说随机选个方向（随机变量）。我们还需要对应的被积函数和pdf

很容易得出被积函数 $f(x)$ 就是 $f_r(p,\omega_i\to\omega_o)L_i(p,\omega_i)(n\cdot\omega_i)$
$pdf(x)$ 涉及到如何对积分域采样，在这里就是如何对半球采样。最简单的采样法就是均匀采样 $pdf(\omega_i)=\frac{1}{2\pi}$

改写渲染方程

L_o(p,\omega_o)\approx\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^N\frac{f_r(p,\omega_i\to\omega_o)L_i(p,\omega_i)(n\cdot\omega_i)}{pdf(\omega_i)}

现在这个算法已经可以算出出射的radiance是多少了

可以写出直接光照伪代码

shade(p, wo) //任意一个着色点p，出射方向是wo
  按照pdf随机往半球各个方向wi生成N个向量
  Lo=0
  foreach wi
    ray r(p, wi) //从p点往wi发射方向连一条光线
    if r 射中了光源
      Lo += (1 / N) * L_i * f_r * cos / pdf(wi) //L_i是光源辐射出的radiance，f_r是BRDF
  return Lo

再考虑间接光，其实间接光就是其他物体反射光源的光，也是radiance

就好像我们在P点算Q点的直接光照

在伪代码里加上间接光

shade(p, wo) //任意一个着色点p，出射方向是wo
  按照pdf随机往半球各个方向wi生成N个向量
  Lo=0
  foreach wi
    ray r(p, wi) //从p点往wi发射方向连一条光线
    if r 射中了光源
      Lo += (1 / N) * L_i * f_r * cos / pdf(wi) //L_i是光源辐射出的radiance，f_r是BRDF
    else if r 在q点射中了物体
      Lo += (1 / N) * shade(q, -wi) * f_r * cos / pdf(wi) //-wi的原因是，我们从p点往外选了一个方向，对于q点来说是负方向
  return Lo

全局光照get✔

路径追踪算法

这个算法还有问题吗？

递归生成光线的数量会指数上升，1->100->10000->…基本不可能计算出来

我们可以只生成一条光线（233）

shade(p, wo) //任意一个着色点p，出射方向是wo
  按照pdf随机往半球各个方向wi生成1个向量
  Lo = 0
  ray r(p, wi) //从p点往wi发射方向连一条光线
  if r 射中了光源
    Lo += L_i * f_r * cos / pdf(wi) //L_i是光源辐射出的radiance，f_r是BRDF
  else if r 在q点射中了物体
    Lo += shade(q, -wi) * f_r * cos / pdf(wi) //-wi的原因是，我们从p点往外选了一个方向，对于q点来说是负方向
  return Lo

只生成一条光线，连结视点和光源的路径的算法，就叫做路径追踪

但是只生成一条光线，噪声很大，我们可以生成多条路径，再把结果叠加求平均

光线生成算法

我们要对所有像素都发射一条光线

ray_gen(camPos, pixel)
  像素内均匀地在N个不同位置取样sample
  pixel_radiance = 0
  foreach sample in pixel
    ray r(camPos, cam_to_sample) //从摄像机位置连一条光线到取样地位置
    if r在p点射中了物体
      pixel_radiance += 1 / N * shade(p, sample_to_cam) //出射方向是采样点到摄像机
  return pixel_radiance

Russian Roulette

现在这个算法还有问题吗？

生成光线路径的shade函数是递归函数，递归需要终止条件，否则会无限制递归下去。现实中的光线会无限制递归，但是计算机不行（爆栈警告）。但是简单地终止递归会造成能量损失，结果不准确。

为了解决这个问题，引入俄罗斯轮盘赌，在一定条件下终止递归

提前定义一个概率p，以这个概率向某个方向发射光线，再把返回地结果除以p。在1-p概率时，返回0

E=p * (\frac{Lo}{p}) + (1 - p) * 0 = Lo

我们仍然可以期望，最后结果是Lo

离散型随机变量的期望是概率乘以值，再把所有加起来。

以概率p得到的结果是 $\frac{Lo}{p}$

以概率 $1-p$ 得到的结果是 $0$

加起来结果是正确的，只是有时候有噪音

现在在算法里加入RR

shade(p, wo)
  选择一个概率P_RR，范围[0,1]
  随机一个变量ksi，范围[0,1]
  if(ksi > P_RR) return 0

  按照pdf随机往半球各个方向wi生成1个向量
  Lo = 0
  ray r(p, wi)
  if r 射中了光源
    Lo += L_i * f_r * cos / pdf(wi) / P_RR
  else if r 在q点射中了物体
    Lo += shade(q, -wi) * f_r * cos / pdf(wi) / P_RR
  return Lo

至此，我们推出了正确的路径追踪算法

只不过这个算法效率不是很高，因为想要最终低噪点的图，需要大量采样

因为生成光线的方向是随机的，能不能打中光源看运气

在光源上采样

蒙特卡洛法并没有规定只能用哪种pdf，如果能直接往光源上采样，那所有光线都不会造成浪费

我们想在光源上采样，而光源就是一个2d的图形，可以很容易知道 $\int pdf\mathrm{d}A=1$ ， $pdf=\frac{1}{A}$

现在我们采样是在光源面积上采样，但是渲染方程不是定义在光源上，而是定义在立体角上（就那个半球）。蒙特卡洛积分又要求只能在积分域上采样，这样就不能用了

我们得把渲染方程写成在光源上的积分

现在我们需要知道 $\mathrm{d}\omega$ 和 $\mathrm{d}A$ 的关系

复习一下立体角定义：球面上的投影面积与半径的平方之比。也可以理解成把任意一个面积投影到单位球的表面上对应的面积，这个投影的面积就是立体角

所以只要把光源的面积投影到着色点单位圆上的面积，就获得了他们的关系

\mathrm{d}\omega=\frac{\mathrm{d}Acos \theta^{'}}{\left|\left|x^{'}-x\right|\right|^2}

本质还是面积除以距离平方

重写渲染方程

\begin{split} L_o(p,\omega_o)&=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+} f_r(p,\omega_i\to\omega_o)L_i(p,\omega_i)cos\theta\mathrm{d}\omega_i\newline &=L_e(p,\omega_o)+\int_{A} f_r(p,\omega_i\to\omega_o)L_i(p,\omega_i)\frac{cos\theta cos\theta^{'}}{\left|\left|x^{'}-x\right|\right|^2}\mathrm{d}A \end{split}

现在应用蒙特卡洛法

被积函数：方程积分号里所有内容

pdf： $\frac{1}{A}$

光源对着色点的贡献可以拆成两部分

直接光的贡献（不需要RR）
其他物体反射的光（需要RR）

shade(p, wo)
  //直接光对着色点地贡献，pdf_light=1/A
  从p
  L_dir = L_i * f_r * cos * cos' / | x' - p |^2 / pdf_light

  //间接光
  L_indir = 0
  RR决定是否要发射射线，不发射就返回L_indir
  生成方向wi，pdf_hemi = 1 / 2pi
  ray r(p, wi)
  if r在q打中不是发光物体
    L_indir = shade(q, -wi) * f_r * cos / pdf_hemi /P_RR
  return L_dir + L_indir