[图形]辐射度量学

Radiometry

辐射度量学是基于物理的渲染（Physically Based Rendering）基础

Solid Angles

定义：球面上的投影面积与半径的平方之比

在球坐标系中，任意球面的微分面积为：

$$\mathrm{d}A=(rsin\theta\mathrm{d}\phi)(r\mathrm{d}\theta)=r^2(sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi)$$

那么微分立体角就是

$$\mathrm{d}\omega=\frac{\mathrm{d}A}{r^2}=sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$

（A代表投影的面积)

对上式积分到整个球体

$$\Omega=\int_{S^2}\mathrm{d}\omega =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi =4\pi$$

单位steradians（球面度，简写sr）

Radiant Flux(Power)

定义：单位时间释放(emitted)、反射(emitted)、透射(transmitted)或接受(received)的能量。单位是 $W$ 或 $lm$

$$\Phi=\lim_{x \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$$

反过来，给定flux和时间，可以算出这段时间的总能量

$$Q=\int_{t0}^{t1}\Phi(t)\mathrm{d}t$$

（拿灯泡来说，就是灯泡有多亮）

Radiant Intensity

定义：辐射(发光)强度是单位立体角(solid angle)由点光源发出的功率(power)

$$I(\omega)=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\omega}$$

单位：$\frac{W(lm)}{sr}=cd$ candela（坎德拉）

点光源任意方向上的Radiant Intensity等于$I=\frac{\Phi}{4\pi}$（因为球体的立体角是）

（灯泡一直在往四面八方发射能量，那某个方向上的能量就是Radiant Intensity）

Irradiance

定义：每(垂直/投影)单位面积入射到一个表面上一点的辐射通量(功率)。单位：lux，照度

$$E(x)=\lim_{\Delta A \to 0}\frac{\Delta\Phi(x)}{\Delta A}=\frac{\mathrm{d}\Phi(x)}{\mathrm{d}A}$$

只和面积有关

我们也可以通过irradiance和面积知道flux

$$\Phi=\int_{A}E(x)\mathrm{d}A$$

（就是被灯泡照射的物体，它表面接收了多少能量）

Lambert Law

区域接收到的能量，和 入射光线 与 区域的法线方向 的夹角的余弦值成正比。

Irradiance方程也能帮助理解Lambert定律。

如果面积光和表面平行也就是$A_1=A$，那么表面和面积光面积相等，Irradiance就等于flux除以面积

$$E_1=\frac{\Phi}{A}$$

然而，如果面积光和表面有一个夹角，那么表面受到光照的面积会变大。面积大约为$A_2=\frac{A}{cos\theta}$。所以

$$E_2=\frac{\Phi cos\theta}{A}$$

Irradiance Falloff

球的立体角是$4\pi$，带入公式，球面的Irradiance是$E=\frac{\Phi}{4\pi r^2}$

可以得出结论，Irradiance传播过程中会衰减，和半径平方成正比

Radiance

定义：一个表面在每单位立体角、每单位投影面积上所发射(emitted)、反射(reflected)、透射(transmitted)或接收(received)的Radiant Flux。

（光线传播过程中度量它的属性）

$$L(p,\omega)=\lim_{\Delta\omega\to0}\frac{\Delta E_\omega(p)}{\Delta\omega}=\frac{\mathrm{d}E_\omega(p)}{\mathrm{d}\omega} =\frac{\mathrm{d}^2\Phi(p,\omega)}{\mathrm{d}\omega\mathrm{d}Acos\theta}$$

（单位：nit，$\frac{W}{sr\quad m^2}$）

（这里多出来的$cos\theta$是在计算光线$\omega$方向上的，投影的面积）

关系

Radiant Intensity：单位立体角的Radiant Flux

Irradiance：单位投影面积的Radiant Flux

Radiance：单位投影面积的Intensity

Radiance还可以是：单位立体角的Irradiance(单位立体角、单位投影面积的Radiant Flux)

（intensity和irradiance只微分一次，radiance微分两次）

Incident Radiance

指到达表面的单位立体角的Irradiance。即它是沿着给定光线到达表面的光(入射方向指向表面)

（就是考虑某个方向上，有多少光射到单位表面上）

Exiting Radiance

离开表面的单位投影面积的辐射强度。例如：对于面光(area light)，它是沿着给定光线发射的光(出射方向指向表面)

（就是一个单位表面往某个方向上发射了多少光）

总结

Irradiance：面积$\mathrm{d}A$接收的总Radiant Flux

Radiance：在面积$\mathrm{d}A$ 、方向$\mathrm{d}\omega$上接收的Radiant Flux

Radiance是在Irradiance上增加了方向性

可以根据以上这点，用一个式子将这两个量联系起来

$$\mathrm{d}E(p,\omega)=L_i(p,\omega)cos\theta\mathrm{d}\omega$$

面积$\mathrm{d}A$收到的irradiance，等于某个方向上的radiance（$L_i(p,\omega)$）乘以照射到面积上的能量（$cos\theta\mathrm{d}\omega$）

整理一下（两边积分）

$$E(\mathrm{p})=\int_{H^2}L_i(p,\omega)cos\theta\mathrm{d}\omega$$

就是每一个可能的方向（立体角）上，收到的能量求和

参考

辐射度量学 - 知乎

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