[数学]简单线性代数

2022.01.29 修订

向量 Vector

点乘 Dot

求向量夹角的余弦值

可以用来求两向量夹角的余弦，向量点乘除以向量长度的积

求向量投影

可以用来求投影，b在a上投影长度就是b长度乘夹角的余弦。

如果$\vec{a}$是单位向量，那么$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影，也就是$\vec{b}_\bot$可以写成：

$$\begin{align} \vec{b}_\bot&=k\vec{a}\\\\ &=\vert\vert\vec{b}\vert\vert cos\theta\vec{a}\\\\ &=\vert\vert\vec{a}\vert\vert\vert\vert\vec{b}\vert\vert cos\theta\vec{a}\\\\ &=(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a} \end{align}$$

如果$\vec{a}$不是单位向量，那么可以先将它归一化后再带入公式：

$$\begin{align} \vec{b}_\bot&=k\vec{a}\\\\ &=(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}\\\\ &=(\frac{\vec{a}}{\vert\vert\vec{a}\vert\vert}\cdot\vec{b})\frac{\vec{a}}{\vert\vert\vec{a}\vert\vert}\\\\ &=\frac{(\vec{a}\cdot\vec{b})}{\vert\vert\vec{a}\vert\vert^2}\vec{a} \end{align}$$

算出投影后，原向量再减去投影向量，就算出原向量分解后的两个向量

判断向量方向

点乘结果大于零，则两向量都指向前方，小于零则都指向后方。两向量越接近，点乘结果越接近1或-1

叉乘 Cross

• 以下都是右手坐标系
• 叉乘结果是：与两向量都垂直的向量，且与两向量所在平面垂直
• 不满足交换律
• 自己叉乘自己结果是0向量
• 判定左右。叉乘结果是正，在左侧；结果是负，在右侧
• 判断内外。AB与AP叉乘，BC与BP叉乘，CA与CP叉乘，若结果的长度都是正的或者负的，说明P在ABC围成图形的内部，否则只要有一个结果的长度与其他两个不一样，则P在ABC外部。

其他的

• p向量分解，u、v、w都是单位向量

矩阵 Matrix

乘法

如果$\boldsymbol{A}$是一个$m\times n$的矩阵，$\boldsymbol{B}$是一个$n\times p$的矩阵，那么两个矩阵乘积的结果$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$是一个$m\times p$的矩阵$\boldsymbol{C}$。

矩阵$\boldsymbol{C}$的第$i$行和第$j$个元素是由$\boldsymbol{A}$的第$i$行与$\boldsymbol{B}$的第$j$列点乘得到

也就是：

$$\boldsymbol{C}_{ij}=\boldsymbol{A}_i\cdot\boldsymbol{B}_j$$

矩阵乘法满足不满足交换律，即$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$

矩阵乘法满足分配律和结合律

转置（Transpose）

其实就是把原向量的行和列互换

矩阵转置的性质：

$$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{B}^T$$

$$(c\boldsymbol{A})^T=c\boldsymbol{A}^T$$

$$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T$$

$$(\boldsymbol{A}^T)^T=\boldsymbol{A}$$

$$(\boldsymbol{A}^{-1})^T=(\boldsymbol{A}^T)^{-1}$$

单位矩阵（Identity）

主对角线元素都为1，其余元素都为0的矩阵叫做单位矩阵

$$\left( \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right)$$

一般来说，单位矩阵的符号是$I$

余子阵（Minor Matrix）

对于一个$n\times n$的矩阵$\boldsymbol{A}$，余子阵$\overline{\boldsymbol{A}_{ij}}$就是原矩阵去掉第$i$行第$j$列的元素后，留下的$(n-1)\times (n-1)$矩阵

$$\boldsymbol{A}=\left( \begin{matrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{matrix} \right)$$

求余子阵$\overline{\boldsymbol{A}_{21}}$

$$\overline{\boldsymbol{A}}=\left( \begin{matrix} A_{12}&A_{13}\\ A_{32}&A_{33} \end{matrix} \right)$$

行列式（Determinant）

定义：

$$det(\boldsymbol{A})=\sum_{j=1}^{n}A_{ij}(-1)^{1+j}det(\overline{\boldsymbol{A}_{1j}})$$

根据公式，可以得出2x2矩阵的行列式：

$$det(\boldsymbol{A})=A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}$$

代数余子式（Cofactor）

对于一个$n\times n$的矩阵$\boldsymbol{A}$

$$C_{ij}=(-1)^{i+j}det(\overline{\boldsymbol{A}_{ij}})$$

$C_{ij}$称为元素$\boldsymbol{A}_{ij}$的代数余子式

如果把矩阵$\boldsymbol{A}$中每个元素分别计算出代数余子式，再将结果放入对应位置，则将结果矩阵称为矩阵$\boldsymbol{A}$的代数余子式矩阵

伴随矩阵（Adjoint）

如果将矩阵$\boldsymbol{A}$的代数余子式矩阵再进行转置，就得到了矩阵$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵

\boldsymbol{A}^*=\boldsymbol{C}_\boldsymbol{A}^T

逆矩阵（Invert）

矩阵不存在除法运算，但是另外定义了一种矩阵乘法的逆运算

逆运算的结果称为逆矩阵，写作$\boldsymbol{A}^{-1}$

逆运算具有一些特性：

• 只有方阵才有逆运算
• 逆运算后的行列数量不变
• 不是所有方阵都可以进行逆运算，存在逆运算的矩阵称为可逆矩阵（invertible matrix），不能逆运算的矩阵称为奇异矩阵（singular matrix）
• 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的
• 矩阵与它对应逆矩阵的乘积是单位矩阵

逆矩阵公式：

$$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}^*}{det(\boldsymbol{A})}$$

如果矩阵的逆等于矩阵的转置：

$$\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^T$$

那么这样的矩阵称为正交矩阵

和向量联动

• 点乘写成矩阵
• 叉乘写成矩阵。A星号不是A乘b，A星号是dual matrix